Cuộc thi olympic toán học Bancăng



Kì trước chúng tôi đã giới thiệu 5 bài toán dành cho THCS của cuộc thi Olympic Toán học Ban-căng các năm 1997, 1998. Sau đây xin được tiếp tục giới thiệu 5 bài toán nữa, của các năm 1999 và 2001.
Bài 1 (1999) : Cho các số thực a, b, c khác nhau và hai số thực x, y thỏa mãn a3 + ax + y = 0, b3 + bx + y = 0, c3 + cx + y = 0. Chứng minh rằng : a + b + c = 0.
Bài 2 (1999) : Đặt an = 23n + 36n + 2 + 56n + 2. Tìm ƯCLN(ao, a1, a2, ..., a1999).
Bài 3 (2001) : Tìm tất cả các số nguyên dương a, b, c thỏa mãn a3 + b3 + c3 = 2001.
Bài 4 (2001) : Cho tam giác ABC có  C = 90o, CA ≠ CB,đường cao CH và đường phân giác CL. Chứng minh rằng : Với điểm X nằm trên đường thẳng CL (X khác C) ta có  XAC ≠ XBC và với điểm Y nằm trên đường thẳng CH (Y khác C) ta cũng có  YAC ≠ YBC.
Bài 5 (2001) : Cho A = 44...4 (2n chữ số 4) và B = 88...8 (n chữ số 8). Chứng minh rằng A + 2B + 4 là số chính phương.